Simpsoni reegel: valem ja kuidas see töötab

Simpsoni reegel on meetod numbriliseks integreerimiseks. Teisisõnu, see on kindlate integraalide arvuline lähendamine.

Simpsoni reegel on järgmine:

Selles,

  • f(x)nimetatakse integrandiks
  • a = integratsiooni alumine piir
  • b = integratsiooni ülemine piir

Simpsoni 1/3 reegel

Nagu on näidatud ülaltoodud diagrammil, on integrand f(x)ligikaudne teise järgu polünoomiga; astmeline interpolantne olend P(x).

Järgneb lähendamine,

Asendades (b-a)/2kui hsaame,

Nagu näete, on 1/3ülaltoodud avaldises üks tegur . Seetõttu nimetatakse seda Simpsoni 1/3 reegliks .

Kui funktsioon on väga võnkuv või tal puudub teatud punktides tuletis, ei pruugi ülaltoodud reegel anda täpseid tulemusi.

Levinud viis selle lahendamiseks on kombineeritud Simpsoni reeglipõhine lähenemine. Selleks [a,b]jagage väikesteks alamintervallideks, seejärel rakendage Simpsoni reeglit igale alamintervallile. Seejärel summeerige iga arvutuse tulemused, et saada ligikaudne kogu integraal.

Kui intervall [a,b]on jaotatud nalamintervallideks ja non paarisarv, arvutatakse Simpsoni liitreegel järgmise valemiga:

kus x j = a + jh for j = 0,1, ..., n-1, n koos h = (ba) / n ; eriti x 0 = a ja x n = b .

Näide C ++ keeles:

Allpool toodud integraali väärtuse ligikaudseks hindamiseks, kus n = 8:

#include #include using namespace std; float f(float x) { return x*sin(x); //Define the function f(x) } float simpson(float a, float b, int n) { float h, x[n+1], sum = 0; int j; h = (b-a)/n; x[0] = a; for(j=1; j<=n; j++) { x[j] = a + h*j; } for(j=1; j<=n/2; j++) { sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]); } return sum*h/3; } int main() { float a,b,n; a = 1; //Enter lower limit a b = 4; //Enter upper limit b n = 8; //Enter step-length n if (n%2 == 0) cout<
    

Simpson's 3/8 Rule

Simpson's 3/8 rule is similar to Simpson's 1/3 rule, the only difference being that, for the 3/8 rule, the interpolant is a cubic polynomial. Though the 3/8 rule uses one more function value, it is about twice as accurate as the 1/3 rule.

Simpson’s 3/8 rule states :

Replacing (b-a)/3 as h, we get,

Simpson’s 3/8 rule for n intervals (n should be a multiple of 3):

where xj = a+jh for j = 0,1,…,n-1,n with h=(b-a)/n; in particular, x0 = a and xn = b.