Kuidas naiivsed Bayesi klassifikaatorid töötavad - koos Pythoni koodi näidetega

Naiivsed Bayesi klassifikaatorid (NBC) on lihtsad, kuid samas võimsad masinõppe algoritmid. Need põhinevad tinglikul tõenäosusel ja Bayesi teoreemil.

Selles postituses selgitan NBC taga olevat "nippi" ja toon näite, mida saame kasutada klassifitseerimisprobleemi lahendamiseks.

Järgmistes jaotistes räägin NBC taga olevast matemaatikast. Kui matemaatika teid ei huvita, jätke need sektsioonid julgelt vahele ja minge rakenduse juurde.

Rakenduse jaotises näitan teile lihtsat NBC algoritmi. Siis kasutame seda klassifitseerimisprobleemi lahendamiseks. Ülesandeks saab välja selgitada, kas Titanicu reisija elas õnnetuse üle või mitte.

Tingimuslik tõenäosus

Enne kui räägime algoritmist endast, räägime selle taga olevast lihtsast matemaatikast. Peame mõistma, mis on tinglik tõenäosus ja kuidas saame selle arvutamiseks kasutada Bayesi teoreemi.

Mõelge õiglasele kuue küljega surnule. Kui suur on tõenäosus vormi veeretamisel kuue saada? See on lihtne, see on 1/6. Meil on kuus võimalikku ja võrdselt tõenäolist tulemust, kuid meid huvitab vaid üks neist. Niisiis, 1/6 on.

Aga mis juhtub, kui ma ütlen teile, et olen stantsimise juba veeretanud ja tulemus on paarisarv? Kui suur on tõenäosus, et oleme nüüd kuuekesi saanud?

Seekord on võimalikud tulemused vaid kolm, sest matriitsil on ainult kolm paarisarvu. Meid huvitab endiselt vaid üks neist tulemustest, seega on tõenäosus nüüd suurem: 1/3. Mis vahe on mõlemal juhul?

Esimesel juhul ei olnud meil tulemuse kohta eelnevat teavet. Seega pidime arvestama iga võimaliku tulemusega.

Teisel juhul öeldi meile, et tulemus oli paarisarv, seega võime vähendada võimalike tulemuste ruumi vaid kolme paarisarvuni, mis kuvatakse tavalises kuuepoolses surmas.

Üldiselt ütleme sündmuse A tõenäosuse arvutamisel, arvestades teise sündmuse B esinemist, et arvutame A tingimusliku tõenäosuse või lihtsalt A tõenäosuse B. Me tähistame seda P(A|B).

Näiteks tõenäosus saada kuus, arvestades, et number meil on isegi: P(Six|Even) = 1/3. Siin me, mida tähistatakse Kuus korral saada kuus ja Isegi juhul saada paarisarv.

Aga kuidas arvutada tingimuslikud tõenäosused? Kas on olemas valem?

Kuidas arvutada tingimuslikke sonde ja Bayesi teoreemi

Nüüd annan teile paar valemit tingimuslike proovide arvutamiseks. Luban, et need ei saa olema rasked, ja need on olulised, kui soovite mõista masinõppe algoritmide teadmisi, millest hiljem räägime.

Sündmuse A tõenäosust teise sündmuse B esinemise korral saab arvutada järgmiselt:

P(A|B) = P(A,B)/P(B) 

Kus P(A,B)tähistab A ja B samaaegse esinemise tõenäosust ja B P(B)tõenäosust.

Pange tähele, et me vajame seda, P(B) > 0kuna pole mõtet rääkida A antud B tõenäosusest, kui B esinemine pole võimalik.

Samuti võime arvutada sündmuse A tõenäosuse, arvestades mitme sündmuse B1, B2, ..., Bn esinemist:

P(A|B1,B2,...,Bn) = P(A,B1,B2,...,Bn)/P(B1,B2,...,Bn) 

Tingimuslike sondide arvutamiseks on veel üks viis. Nii on nn Bayesi teoreem.

P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) P(A|B1,B2,...,Bn) = P(B1,B2,...,Bn|A)P(A)/P(B1,B2,...,Bn) 

Pange tähele, et arvutame sündmuse A tõenäosust antud sündmuse B korral, pöörates ümber sündmuste esinemise järjekorra.

Oletame, et sündmus A on aset leidnud ja tahame arvutada sündmuse B tõenäosuse (või teises ja üldisemas näites sündmused B1, B2, ..., Bn).

Oluline fakt, mille sellest teoreemist võib tuletada, on arvutusvalem P(B1,B2,...,Bn,A). Seda nimetatakse tõenäosuste ahelreegliks.

P(B1,B2,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2,B3,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)P(B3, B4, ..., Bn, A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)...P(Bn | A)P(A) 

See on kole valem, kas pole? Kuid teatud tingimustel saame lahenduse teha ja seda vältida.

Räägime viimasest mõistest, mida peame algoritmide mõistmiseks teadma.

Iseseisvus

Viimane kontseptsioon, millest räägime, on iseseisvus. Me ütleme, et sündmused A ja B on sõltumatud, kui

P(A|B) = P(A) 

See tähendab, et sündmuse A esinemist ei mõjuta sündmuse B esinemine. Otsene tagajärg on see P(A,B) = P(A)P(B).

Tavalises inglise keeles tähendab see, et nii A kui ka B esinemise tõenäosus korraga on võrdne eraldi esinevate sündmuste A ja B proovide korrutisega.

Kui A ja B on sõltumatud, leiab see ka järgmist:

P(A,B|C) = P(A|C)P(B|C) 

Nüüd oleme valmis rääkima Naive Bayesi klassifikaatoritest!

Naiivsed Bayesi klassifikaatorid

Oletame, et meil on vektor X on n funktsioone ja me tahame, et määrata klassifikatsiooni selle vektori komplekt k klasside y1, y2, ..., yk . Näiteks kui tahame kindlaks teha, kas täna sajab vihma või mitte.

Meil on kaks võimalikku klassi ( k = 2 ): vihm , mitte vihm ja tunnuste vektori pikkus võib olla 3 ( n = 3 ).

Esimene funktsioon võib olla kas pilves või päikeseline, teine ​​funktsioon võib olla see, kas õhuniiskus on kõrge või madal, ja kolmas funktsioon on see, kas temperatuur on kõrge, keskmine või madal.

Nii võivad need olla võimalikud funktsioonivektorid.

Meie ülesanne on ilmastikutingimusi arvestades kindlaks teha, kas sajab vihma või mitte.

Pärast tingimuslike tõenäosuste tundmaõppimist tundub loomulik läheneda probleemile, proovides arvutada vihma tõenäosust, arvestades funktsioone:

R = P(Rain | Cloudy, H_High, T_Low) NR = P(NotRain | Cloudy, H_High, T_Low) 

Kui R > NRvastame, et vihma sajab, siis muidu ütleme, et ei saja.

Üldiselt, kui meil on k klassi y1, y2, ..., yk ja n omaduste vektor X = , siis tahame leida klassi yi, mis maksimeerib

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn, yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Pange tähele, et nimetaja on konstantne ja see ei sõltu klassist yi . Seega võime seda ignoreerida ja keskenduda lihtsalt lugejale.

Eelmises jaotises nägime, kuidas arvutada P(X1, X2,..., Xn, yi), lagundades selle tingimuslike tõenäosuste korrutisena (kole valem):

P(X1, X2,..., Xn, yi) = P(X1 | X2,..., Xn, yi)P(X2 | X3,..., Xn, yi)...P(Xn | yi)P(yi) 

Eeldades, et kõik funktsioonid Xi on sõltumatud ja kasutades Bayesi teoreemi, võime tingimusliku tõenäosuse arvutada järgmiselt:

P(yi | X1, X2,..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Ja peame lihtsalt keskenduma lugejale.

Leides klassi yi, mis maksimeerib eelmise avaldise, klassifitseerime sisendvektori. Aga kuidas me saame kõik need tõenäosused?

Kuidas arvutada tõenäosusi

Selliste probleemide lahendamisel peab meil olema komplekt varem klassifitseeritud näiteid.

For instance, in the problem of guessing whether it'll rain or not, we need to have several examples of feature vectors and their classifications that they would be obtained from past weather forecasts.

So, we would have something like this:

...  -> Rain  -> Not Rain  -> Not Rain ... 

Suppose we need to classify a new vector . We need to calculate:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain)P(H_Low | T_Low, Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

We get the previous expression by applying the definition of conditional probability and the chain rule. Remember we only need to focus on the numerator so we can drop the denominator.

We also need to calculate the prob for NotRain, but we can do this in a similar way.

We can find P(Rain) = # Rain/Total. That means counting the entries in the dataset that are classified with Rain and dividing that number by the size of the dataset.

To calculate P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain) we need to count all the entries that have the features H_Low, T_Low and Cloudy. Those entries also need to be classified as Rain. Then, that number is divided by the total amount of data. We calculate the rest of the factors of the formula in a similar fashion.

Making those computations for every possible class is very expensive and slow. So we need to make assumptions about the problem that simplify the calculations.

Naive Bayes Classifiers assume that all the features are independent from each other. So we can rewrite our formula applying Bayes's Theorem and assuming independence between every pair of features:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | Rain)P(H_Low | Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

Now we calculate P(Cloudy | Rain) counting the number of entries that are classified as Rain and were Cloudy.

The algorithm is called Naive because of this independence assumption. There are dependencies between the features most of the time. We can't say that in real life there isn't a dependency between the humidity and the temperature, for example. Naive Bayes Classifiers are also called Independence Bayes, or Simple Bayes.

The general formula would be:

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Remember you can get rid of the denominator. We only calculate the numerator and answer the class that maximizes it.

Now, let's implement our NBC and let's use it in a problem.

Let's code!

I will show you an implementation of a simple NBC and then we'll see it in practice.

The problem we are going to solve is determining whether a passenger on the Titanic survived or not, given some features like their gender and their age.

Here you can see the implementation of a very simple NBC:

class NaiveBayesClassifier: def __init__(self, X, y): ''' X and y denotes the features and the target labels respectively ''' self.X, self.y = X, y self.N = len(self.X) # Length of the training set self.dim = len(self.X[0]) # Dimension of the vector of features self.attrs = [[] for _ in range(self.dim)] # Here we'll store the columns of the training set self.output_dom = {} # Output classes with the number of ocurrences in the training set. In this case we have only 2 classes self.data = [] # To store every row [Xi, yi] for i in range(len(self.X)): for j in range(self.dim): # if we have never seen this value for this attr before, # then we add it to the attrs array in the corresponding position if not self.X[i][j] in self.attrs[j]: self.attrs[j].append(self.X[i][j]) # if we have never seen this output class before, # then we add it to the output_dom and count one occurrence for now if not self.y[i] in self.output_dom.keys(): self.output_dom[self.y[i]] = 1 # otherwise, we increment the occurrence of this output in the training set by 1 else: self.output_dom[self.y[i]] += 1 # store the row self.data.append([self.X[i], self.y[i]]) def classify(self, entry): solve = None # Final result max_arg = -1 # partial maximum for y in self.output_dom.keys(): prob = self.output_dom[y]/self.N # P(y) for i in range(self.dim): cases = [x for x in self.data if x[0][i] == entry[i] and x[1] == y] # all rows with Xi = xi n = len(cases) prob *= n/self.N # P *= P(Xi = xi) # if we have a greater prob for this output than the partial maximum... if prob > max_arg: max_arg = prob solve = y return solve 

Here, we assume every feature has a discrete domain. That means they take a value from a finite set of possible values.

The same happens with classes. Notice that we store some data in the __init__ method so we don't need to repeat some operations. The classification of a new entry is carried on in the classify method.

This is a simple example of an implementation. In real world applications you don't need (and is better if you don't make) your own implementation. For example, the sklearn library in Python contains several good implementations of NBC's.

Notice how easy it is to implement it!

Now, let's apply our new classifier to solve a problem. We have a dataset with the description of 887 passengers on the Titanic. We also can see whether a given passenger survived the tragedy or not.

So our task is to determine if another passenger that is not included in the training set made it or not.

In this example, I'll be using the pandas library to read and process the data. I don't use any other tool.

The data is stored in a file called titanic.csv, so the first step is to read the data and get an overview of it.

import pandas as pd data = pd.read_csv('titanic.csv') print(data.head()) 

The output is:

Survived Pclass Name \ 0 0 3 Mr. Owen Harris Braund 1 1 1 Mrs. John Bradley (Florence Briggs Thayer) Cum... 2 1 3 Miss. Laina Heikkinen 3 1 1 Mrs. Jacques Heath (Lily May Peel) Futrelle 4 0 3 Mr. William Henry Allen Sex Age Siblings/Spouses Aboard Parents/Children Aboard Fare 0 male 22.0 1 0 7.2500 1 female 38.0 1 0 71.2833 2 female 26.0 0 0 7.9250 3 female 35.0 1 0 53.1000 4 male 35.0 0 0 8.0500 

Notice we have the Name of each passenger. We won't use that feature for our classifier because it is not significant for our problem. We'll also get rid of the Fare feature because it is continuous and our features need to be discrete.

There are Naive Bayes Classifiers that support continuous features. For example, the Gaussian Naive Bayes Classifier.

y = list(map(lambda v: 'yes' if v == 1 else 'no', data['Survived'].values)) # target values as string # We won't use the 'Name' nor the 'Fare' field X = data[['Pclass', 'Sex', 'Age', 'Siblings/Spouses Aboard', 'Parents/Children Aboard']].values # features values 

Then, we need to separate our data set in a training set and a validation set. The later is used to validate how well our algorithm is doing.

print(len(y)) # >> 887 # We'll take 600 examples to train and the rest to the validation process y_train = y[:600] y_val = y[600:] X_train = X[:600] X_val = X[600:] 

We create our NBC with the training set and then classify every entry in the validation set.

We measure the accuracy of our algorithm by dividing the number of entries it correctly classified by the total number of entries in the validation set.

## Creating the Naive Bayes Classifier instance with the training data nbc = NaiveBayesClassifier(X_train, y_train) total_cases = len(y_val) # size of validation set # Well classified examples and bad classified examples good = 0 bad = 0 for i in range(total_cases): predict = nbc.classify(X_val[i]) # print(y_val[i] + ' --------------- ' + predict) if y_val[i] == predict: good += 1 else: bad += 1 print('TOTAL EXAMPLES:', total_cases) print('RIGHT:', good) print('WRONG:', bad) print('ACCURACY:', good/total_cases) 

The output:

TOTAL EXAMPLES: 287 RIGHT: 200 WRONG: 87 ACCURACY: 0.6968641114982579 

It's not great but it's something. We can get about a 10% accuracy improvement if we get rid of other features like Siblings/Spouses Aboard and Parents/Children Aboard.

You can see a notebook with the code and the dataset here

Conclusions

Today, we have neural networks and other complex and expensive ML algorithms all over the place.

NBCs are very simple algorithms that let us achieve good results in some classification problems without needing a lot of resources. They also scale very well, which means we can add a lot more features and the algorithm will still be fast and reliable.

Even in a case where NBCs were not a good fit for the problem we were trying to solve, they might be very useful as a baseline.

We could first try to solve the problem using an NBC with a few lines of code and little effort. Then we could try to achieve better results with more complex and expensive algorithms.

This process can save us a lot of time and gives us an immediate feedback about whether complex algorithms are really worth it for our task.

Selles artiklis lugesite tingimuslike tõenäosuste, sõltumatuse ja Bayesi teoreemi kohta. Need on naiivsete Bayesi klassifikaatorite taga olevad matemaatilised mõisted.

Pärast seda nägime NBC lihtsat rakendamist ja lahendasime probleemi, et teha kindlaks, kas Titanicu reisija elas õnnetuse üle.

Loodan, et see artikkel oli teile kasulik. Arvutiteadusega seotud teemadel saate lugeda minu isiklikust ajaveebist ja mind Twitteris jälgides.