Boole'i ​​algebra tõetabeli õpetus - XOR, NOR ja loogika sümbolid on selgitatud

Me kõik armastame arvuteid. Nad saavad teha nii palju hämmastavaid asju. Paari aastakümne jooksul on arvutid täielikult muutnud inimelu kõik aspektid.

Nad saavad teha erineva keerukusega ülesandeid, lihtsalt nulle ja nulle keerates. On tähelepanuväärne näha, kuidas selline lihtne toiming võib põhjustada nii palju keerukust.

Aga ma olen kindel, et te kõik teate, et sellist keerukust ei saa (praktiliselt) lihtsalt numbreid juhuslikult lehitsedes saavutada. Selle taga on tõepoolest mõni põhjendus. On reegleid, mis reguleerivad seda, kuidas seda tuleks teha. Selles artiklis käsitleme neid reegleid ja näeme, kuidas need reguleerivad arvuti "mõtlemist".

Mis on Boole'i ​​algebra?

Reegleid, mida ma eespool mainisin, kirjeldab matemaatika valdkond nimega Boole'i ​​algebra.

Suurbritannia matemaatik George Boole pakkus oma 1854. aasta raamatus välja süsteemsed reeglikogumid tõeväärtustega manipuleerimiseks. Need reeglid andsid matemaatilise aluse loogiliste väidete käsitlemiseks. Need sihtasutuste kogumid viisid Boole'i ​​algebra väljatöötamiseni.

Boole'i ​​algebra kõige paremaks mõistmiseks peame kõigepealt mõistma loogika algebra ja teiste algebra vormide sarnasusi ja erinevusi.

Algebra tegeleb üldiselt matemaatiliste sümbolite ja toimingutega, mida saab nende sümbolitega teha.

Nendel sümbolitel pole omaette tähendust. Need tähistavad mingit muud kogust. Just see kogus annab neile sümbolitele teatud väärtuse ja just selle koguse abil toiminguid tegelikult tehakse.

Boole'i ​​algebra käsitleb ka sümboleid ja reegleid, mis reguleerivad nende sümbolitega toimimist, kuid erinevus seisneb selles, mida need sümbolid tähistavad .

Tavalise algebra korral tähistavad sümbolid reaalarvusid, Boole'i ​​algebras aga tõeväärtusi.

Alloleval pildil on näidatud kogu reaalarvude komplekt. Reaalarvude komplekt sisaldab naturaalarvusid (1, 2, 3, 4 ....), terveid arve (kõik naturaalarvud ja 0), täisarvusid (.....- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...) ja nii edasi. Tavaline algebra tegeleb kogu selle numbrikomplektiga.

Tõe väärtused koosnevad ainult kahest väärtusest: Väär ja Tõene. Siinkohal tahaksin välja tuua asjaolu, et nende väärtuste tähistamiseks võime kasutada mis tahes muud sümbolit.

Näiteks arvutiteaduses esindame neid väärtusi enamasti 0 ja 1 abil. 0 kasutatakse väärtuse False ja 1 väärtus True väärtusena.

Võite seda teha ka uhkemal viisil, esitades tõeväärtusi mõne muu sümboliga, näiteks kassid ja koerad või banaanid ja apelsinid.

Asi on selles, et nende sümbolite sisemine tähendus jääb samaks, sõltumata kasutatavast sümbolist. Kuid veenduge, et te ei muudaks toiminguid tehes sümboleid.

Nüüd on küsimus selles, et kui (Tõene ja Vale), (0 ja 1) on ainult esindused, siis mida nad üritavad esindada?

Tõeväärtuste taga peituv tähendus pärineb loogikaväljast, kus tõeväärtusi kasutatakse selleks, et öelda, kas väide on "tõene" või "vale". Siin tähistavad tõeväärtused väite suhet tõega, see tähendab, kas väide on tõene või väär.

Ettepanek on lihtsalt selline lause nagu "Kõik kassid on armsad".

Kui ülaltoodud väide vastab tõele, määrame sellele tõeväärtuse "Tõene" või "1", vastasel juhul määrame selle "Vale" või "0".

Digitaalses elektroonikas kasutatakse tõeväärtusi elektrooniliste vooluahelate oleku "Sees" ja "Väljas" tähistamiseks. Selle kohta arutame pikemalt käesolevas artiklis.

Boole'i ​​toimingud ja tõetabelid

Nii nagu tavalises algebras, on ka Boole'i ​​algebras toiminguid, mida saab väärtuste suhtes tulemuste saamiseks rakendada. Kuigi need toimingud pole sarnased tavalise algebra omadega, sest nagu me varem arutlesime, töötab Boole'i ​​algebra pigem tõeväärtuste kui reaalsete arvude põhjal.

Boole'i ​​algebral on kolm põhitoimingut.

VÕI : tuntud ka kui disjunktsioon . See toiming viiakse läbi kahe Boole'i ​​muutujaga. OR-operatsiooni väljund on 0, kui mõlemad operandid on 0, vastasel juhul on see 1.

Selgema pildi saamiseks sellest toimingust saame selle visualiseerida alloleva tõetabeli abil .

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

JA : Tuntud ka kui sidesõna . See toiming viiakse läbi kahe Boole'i ​​muutujaga. AND-operatsioonide väljund on 1, kui mõlemad operandid on 1, vastasel juhul on see 0. Tõetabeli esitus on järgmine.

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

EI : Tuntud ka kui eitus . See toiming viiakse läbi ainult ühe muutujaga. Kui muutuja väärtus on 1, teisendab see toiming selle lihtsalt 0-ks ja kui muutuja väärtus on 0, siis teisendab see ka 1.

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

Boole'i ​​algebra ja digitaalahelad

Pärast algset arengut jäi Boole'i ​​algebra pikka aega üheks matemaatika mõisteks, millel puudusid märkimisväärsed praktilised rakendused.

1930. aastatel mõistis ameerika matemaatik Claude Shannon, et Boole'i ​​algebrat saab kasutada vooluringides, kus binaarsed muutujad võivad tähistada "madala" ja "kõrge" pinge signaale või "sisse" ja "välja" olekut.

See lihtne idee teha Boolean Algebra abil vooluringe viis digitaalse elektroonika arenguni, mis aitas suuresti kaasa arvutite ahelate väljatöötamisele.

Digitaalahelad rakendavad loogikaväravate abil Boole'i ​​algebrat. Loogikaväravad on skeemid, mis tähistavad tõeväärtuse toimingut. Näiteks OR-värav tähistab OR-operatsiooni. Sama kehtib ka NOT ja AND väravate kohta.

Põhiloogika väravate kõrval on meil ka loogikaväravad, mida saab luua põhiloogika väravate kombinatsiooni abil.

NAND : NAND värava moodustab NOT ja AND väravate kombinatsioon. NAND gate annab väljundiks 0, kui mõlemad sisendid on 1, vastasel juhul 1.

NAND-väraval on funktsionaalse täielikkuse omadus, mis tähendab, et mis tahes tõeväärtuse funktsiooni saab rakendada ainult NAND-väravate kombinatsiooni abil.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR : NOR värav on moodustatud NOT ja OR väravate kombinatsioonist. NOR-värav annab väljundiks 1, kui mõlemad sisendid on 0, muidu 0.

NOR-värav, nagu ka NAND-värav, omab funktsionaalse täielikkuse omadust, mis tähendab, et mis tahes tõeväärtusfunktsiooni saab rakendada ainult NOR-väravate kombinatsiooni abil.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Enamik digitaallülitusi on ehitatud NAND- või NOR-väravate abil, kuna neil on funktsionaalne terviklikkus ja neid on ka lihtne valmistada.

Lisaks ülalnimetatud väravatele on meil ka teatud tüüpi väravad, millel on mingi konkreetne eesmärk. Need on järgmised:

XOR : XOR-värav või Exclusive-OR-värav on loogikavärava eritüüp, mis annab väljundiks 0, kui mõlemad sisendid on kas 0 või 1, vastasel juhul annab see 1.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR : XNOR gate ehk Exclusive-NOR gate on spetsiaalne loogikavärava tüüp, mis annab väljundiks 1, kui mõlemad sisendid on kas 0 või 1, vastasel juhul annab see 0.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Järeldus

Nii et kõige selle juures saame nüüd oma arutelu Boole'i ​​algebra üle siin lõpetada. Loodan, et nüüdseks on teil korralik pilt sellest, mida Boole'i ​​algebra endast kujutab.

See pole kindlasti kõik, mida peate teadma Boole'i ​​algebra kohta. Boole'i ​​algebral on palju mõisteid ja üksikasju, mida me ei saanud selles artiklis käsitleda.