Permutatsioon ja kombinatsioon: erinevus, mida on selgitatud valeminäidetega

Permutatsioonid ja kombinatsioonid on ülikasulikud nii paljudes rakendustes - arvutiprogrammeerimisest tõenäosusteooriani ja geneetikani.

Tutvustan teile kõrvuti neid kahte mõistet, nii et näete, kui kasulikud need on.

Nende kahe mõiste peamine erinevus on tellimine. Rakenduses Permutations keskendute elementide loenditele , kus nende järjekord on oluline.

Näiteks olen sündinud 1977. aastal . See on number 1, millele järgneb number 9 , millele järgneb number 7 , millele järgneb number 7 . Selles konkreetses järjekorras.

Kui ma muudan järjekorra hoopis 7917-ks , oleks see hoopis teine ​​aasta. Seega loeb järjekord .

Mis kombinatsioonid teiselt poolt, on fookus rühmade elementide kus järjekord ei ole oluline.

Nagu minu tass kohvi on kombinatsioon kohvist , suhkrust ja veest . Pole tähtis, millises järjekorras lisan need koostisosad. Võib olla ka vett , suhkrut ja kohvi , see on ikka sama tass kohvi. Seega, et ei ole oluline.

Vaatame nüüd neid mõisteid lähemalt.

1. osa: Permutatsioonid

Permutatsioonid, kus kordamine on lubatud

Kujutage ette, et teil on uus telefon. Uue telefoni kasutamist alustades palutakse teil mingil hetkel seadistada parool.

Läheduses ja isikupärane

Parool peab koosnema neljast numbrist. 4 numbrit. Ja neid võidakse korrata.

On 10 numbrit kokku alustada. Need on: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nii et teie parooli esimese numbri jaoks on teil 10 valikut.

Kuna võite sama numbrit uuesti kasutada, on meie parooli teise numbri valikute arv jälle 10 ! Seega, valides seni kaks parooli numbrit, on permutatsioonid 10 korda 10 või 10 x 10 = 100 või 102 .

Sama mõte kehtib ka teie parooli kolmanda numbri kohta. Saate uuesti valida samade 10 valiku vahel. Seekord on teil 10 korda 10 korda 10 või 10 x 10 x 10 = 1000 või 103 permutatsiooni.

Lõpuks, parooli neljanda numbri ja sama kümne numbri vahel valime lõpuks 10 korda 10 korda 10 korda 10 või 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 või 104 permutatsiooni.

Nagu te ilmselt märkasite, oli teil teha neli valikut ja korrutasite kümme korda neli korda (10 x 10 x 10 x 10), et saada permutatsioonide koguarv (10 000). Kui peaksite oma parooliks valima 3 numbrit, korrutaksite kümme korda kolm korda. Kui 7 , siis teeksite seda seitse korda jne.

Kuid elu ei sõltu ainult paroolidest, mille vahel on valida numbreid. Mis siis, kui teil on sünnipäevapidu ja peate valima 5 värvilist õhupalli 20 erinevast värvist?

Kuna teil on valida 20 erineva värvi vahel ja võite sama värvi uuesti valida, on teil iga õhupalli jaoks 20 valikut. Esimene õhupall on 20 , teine ​​õhupall on 20 korda 20 või 20 x 20 = 400 jne. Viienda õhupalli eest saate 20 x 20 x 20 x 20 x 20 = 3 200 000 või 205 permutatsiooni.

Võtame kokku üldreegli: kui tellimus on oluline ja kordamine on lubatud, kui n on valitud asjade arv (õhupallid, numbrid jne), siis valite neist r (5 ballooni peoks, 4 numbrit parooliks) jne), on permutatsioonide arv P = nr .

Permutatsioonid, kus kordamine pole lubatud

Järgnevalt kaalume juhtumit, kus kordamine pole lubatud . Näitena vaatleme oma päikesesüsteemi planeete.

Mitu erinevat viisi saate neid 8 planeeti korraldada ? Planeedid on: Merkuur , Veenus , Maa , Marss , Jupiter , Saturn , Uraan ja Neptuun . Pärast näiteks Mercury valimist ei saa te seda enam valida. Seega peate iga kord, kui planeet valitakse, võimalike valikute arvu vähendada.

Esimesel valikul on 8 võimalust. Teisel valikul on 8 miinus 1 võrdub 7 võimalust, seejärel 6 , millele järgneb 5 , millele järgneb 4, kuni meil on loendis 1 planeet.

Järgides eelmise stsenaariumi loogikat, on permutatsioonide koguarv: P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40 320 .

Teisisõnu, see on täisarvu 8 ja kõigi selle all olevate positiivsete täisarvude korrutis. Seda toodet nimetatakse Factorialiks ja seda tähistatakse hüüumärgiga: 8!

Permutatsioonide arv võrdub P = 8! või üldisemalt P = n!

Mis siis, kui teil on vaja nende 8 planeedi hulgast korraldada ainult 5 , nende kõigi asemel? Siis teete meie meetodis ainult esimesed 5 sammu. Nimelt on P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 see, kui mitmel viisil saate korraldada 5 planeeti kaheksast .

Aga miks siin peatuda? Miks mitte rakendada meie loogikat üldisema valemi väljatöötamiseks? Selleks, et ülaltoodud märge oleks objektide arvu korral hõlpsasti meelde tuletatav, kasutame nippi. Murdosas nii lugeja kui nimetaja korrutamine sama arvuga (välja arvatud null) ei mõjuta seda murdosa. Seega:

Planeetide arv, mille vahel valida n = 8 , valite neist r = 5 . Numbrite asendamine ülaltoodud valemiga annab meile P = 8! / (8 - 5)! = 8! / 3! . Sama mis 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 .

Siit saab tuletada varasema näite tulemuse. Sealt paigutatud kõik 8 välja 8 saadaval planeedid. Uut valemit kasutades P = 8! / (8 - 8)! = 8! / 0! . Kuna nulli faktoriaal lepitakse kokku 1-ga , on P = 8! / 1 = 8 !. Või üldisemalt:

P = n! / (n - n)! = n! / 0! = n! .  

Üks sageli kasutatav lühike ja mugav tähistus on: P (n, r) = n! / (n - r)!

Valemite meeldejätmine on oluline. Kuid tegeliku elu probleemide lahendamisel on olulisem teada, milliseid valemeid igas olukorras kasutada. Praktika aitab.

Pop-viktoriin:

Turniir on käimas ja võistlemas on kuus meeskonda. Esimene koht saab kuld ja teine ​​koht hõbemedalid. Kui palju erinevaid viise saab neile meeskondadele medaleid anda?

Valige 1 vastus


30
360
720
15
Esita

Selgitus: teil on valida 6 meeskonna vahel. Seega n = 6 . Kuld ja hõbe annavad teile kokku 2 medalit. Seega r = 2 . Nende arvude asendamine valemiga annab meile P (6, 2) = 6! / (6 - 2)! = 6! / 4! = 6 x 5 = 30 .

Osa 2. Kombinatsioonid

Kombinatsioonid ilma kordamiseta

Võrdluse elavamaks muutmiseks vaadakem uuesti oma planeedi valiku näidet. Mis siis, kui soovite teada saada, millised planeedid on valitud, mitte nende ilmumise järjekorda?

Seal oli teil 6720 erinevat viisi, kuidas korraldada 5 planeeti kaheksast. Kuid kuna välimuse järjekord pole praegu oluline, on paljud neist viisidest üleliigsed . Nad on meie jaoks ühesugused.

Rühma Veenuse, Maa, Mars, Jupiter, Saturn on sama rühma nagu Mars, Jupiter, Veenus, Maa, Saturn ja rühm nagu Saturn, Mars, Maa, Jupiter, Veenus. Need on lihtsalt ühe ja sama 5 planeedi erinevad järjestused.

Kui palju teil on samu rühmi? Kui valite rühma kohta r planeete, saate r! rühmadesse. Kui r = 5 , saate r! = 5! = 120 rühma.

Seega, et kõrvaldada tarbetud rühmad, mis on samad, jagate algse 6720 permutaadi arvu 5-ga! . Tulemuseks on 6720/120 = 56 .

Üldistada, et jõuda arv kombinatsioonid , peate nuputada kõik permutatsiooni ja jagage kõik Koondamised .

Lühikese ja mugava tähistuse kasutamine: C (n, r) = P (n, r) / r! = n! / (r! (n - r)!)

Ja see eeldab, et järjestusel pole tähtsust ja kordusi pole (see tähendab - valida on ainult üks Jupiter).

Vaatame uuesti turniiri näidet:

Turniir on käimas ja võistlemas on kuus meeskonda. Esimene koht saab kuld ja teine ​​koht hõbemedalid. Mitu medalivõitjate rühma on võimalik? Meeskondade järjestus pole oluline

Valige 1 vastus


360
15
30
720
Esita

Nagu varemgi, on teil 6 meeskonda. Seega n = 6 . Välja antakse kaks medalit, seega r = 2 . Kuid seekord pole vahet, kes võidab kulla ja kes hõbeda. Võistkondlik kuld ja hõbe on sama mis võistkonna hõbe ja võistkonna kuld. Nende arvude asendamine valemiga annab meile C (6, 2) = 6! / (2! (6 - 2)!) = 6! / 2! 4! = 15 .

Kombinatsioonid kordusega

Selle artikli täiendamiseks on üks juhtum, mis vajab erilist tähelepanu. Siiani eeldasime, et meie kombinatsioonides pole kordusi. Kaks ühesugust eset ei olnud.

Mis siis, kui meil võib olla kordusi? Mis oleks, kui saaksime valida, nagu meie varasemas näites, rohkem kui ühe sama värvi õhupalli? Kui valida on õhupallide arv n ja me valime neist r , lubades samasuguseid värve ja eirates paigutusjärjestust, saame lõpuks (n + r - 1)! / (r! (n - 1)!) Kombinatsioonid .

Nii et kokkuvõtlikult on siin tabel, mida saate kasutada nende mõistete ja nende valemite viitamiseks.

Loodan, et see artikkel on aidanud teil paremini mõista neid kahte olulist matemaatilist mõistet. Täname lugemast.